triplete pitagoreice

Tripletul de numere naturale nenule x, y, z, se numește pitagoreic dacă x² + y² = z² (laturile unui triunghi dreptunghic). Deși există o infinitate de asemenea triplete, singurele numere naturale consecutive care satisfac relația de mai sus sunt 3, 4 și 5.

Demonstrația este simplă: numerele consecutive sunt de forma x, x+1, x+2 etc.

Dar, din moment ce cele 3 numere sunt consecutive și trebuie să fie și pitagoreice, avem x² + (x+1)² = (x+2)² . Adică 2x² + 2x + 1 = x² + 4x + 4 –> x – 2x – 3 = 0 –> (x+1)(x-3) = 0

Singura soluție pozitivă pentru ecuația de mai sus este x = 3 q.e.d

două numere de vineri: 25 și 41

Destul de interesante amândouă, fiecare în felul său.

Astfel, 25 este un pătrat, cât și suma a două pătrate: 5² = 3² + 4²

De asemenea, 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 (suma unei secvențe de numere impare e un pătrat).

A se vedea și 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 sau 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 etc.

Fiind un pătrat impar, 25 este suma a două numere întregi succesive (12 și 13). Rădăcina sa, adică 5, e și alcătuită din 2 numere întregi consecutive (2 și 3). Verificați proprietatea și pentru alt pătrat impar, de pildă 121 = 11² = 60 + 61, iar 11 = 5 + 6.

25 = 4! + 1, 5 fiind singura soluție pentru ecuația (n-1)! + 1 = n^k

Pierre de Fermat a intuit, corect, că 25 = 3³- 1 este singurul pătrat doar cu 2 unități mai mic decât un cub (25 = 27 – 2).

Cât despre 41, el e un număr prim, dar nu datorită acestui lucru este interesant.

În 1772, Leonard Euler a găsit remarcabila formulă x² + x + 41, care generează doar numere prime pentru x mergând de la 0 la 39.

În consecință, pentru x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… avem numerele prime: 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151…

problema lui Brocard

A fost formulată de către matematicianul francez Henri Brocard și sună în felul următor: să se găsească numerele naturale n și m care satisfac ecuația

n! + 1 = m²

Până în prezent se cunosc doar 3 perechi (n,m) de astfel de numere: (4,5), (5,11) și (7,71).

Și într-adevăr:
4! + 1 = 25 = 5²
5! + 1 = 121 = 11²
7! +1 = 5041 = 71².