două numere de vineri: 25 și 41

Destul de interesante amândouă, fiecare în felul său.

Astfel, 25 este un pătrat, cât și suma a două pătrate: 5² = 3² + 4²

De asemenea, 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 (suma unei secvențe de numere impare e un pătrat).

A se vedea și 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 sau 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 etc.

Fiind un pătrat impar, 25 este suma a două numere întregi succesive (12 și 13). Rădăcina sa, adică 5, e și alcătuită din 2 numere întregi consecutive (2 și 3). Verificați proprietatea și pentru alt pătrat impar, de pildă 121 = 11² = 60 + 61, iar 11 = 5 + 6.

25 = 4! + 1, 5 fiind singura soluție pentru ecuația (n-1)! + 1 = n^k

Pierre de Fermat a intuit, corect, că 25 = 3³- 1 este singurul pătrat doar cu 2 unități mai mic decât un cub (25 = 27 – 2).

Cât despre 41, el e un număr prim, dar nu datorită acestui lucru este interesant.

În 1772, Leonard Euler a găsit remarcabila formulă x² + x + 41, care generează doar numere prime pentru x mergând de la 0 la 39.

În consecință, pentru x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… avem numerele prime: 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151…