2013

3 x 11 x 61
factorizare primă.

numere prietene

Probabil unul dintre cele mai frumoase concepte din matematică, mai precis din teoria numerelor, îl constituie acela de „numere prietene”. Dar ce înseamnă că două numere sunt „prietene” (amicable numbers)? Adică fiecare număr este egal cu suma divizorilor celuilalt număr, luând în calcul inclusiv pe 1 și excluzând numărul însuși (ca divizor). Evident, numerele prietene vin mereu în perechi.

Exemple de astfel de perechi: (220 și 284), (1184 și 1210), (2620 și 2924), (5020 și 5564), (6232 și 6368) etc...

Primele perechi de numere prietene sunt cunoscute încă din antichitate – școala pitegoreică – fiind considerate simbolul prieteniei (prietenul văzut ca alter ego = celălalt eu).

Și într-adevăr, divizorii lui 220 sunt: 1+2+ 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 = 284, iar ai lui 284 sunt: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Părțile componente ale unui număr îl recompun pe celălalt.

Întocmai ca în prietenie.

PS Aici găsiți un articol ceva mai complicat despre numerele prietene, pentru cei curioși.

8128: numărul perfect

8128 a fost, pentru multă vreme, cel mai mare număr perfect cunoscut (în antichitate); un număr perfect este egal cu suma divizorilor săi.

Astfel, 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064.

Sau 8128 = 64(127-1) = 2⁶(2⁷-1), 127 fiind un număr Mersenne-prim.

Alte numere perfecte până la 8128 sunt 6 (1+2+3), 28 (1+2+4+7+14) și 496 (1+2+4+8+16+31+62+124+248). Următorul este 33550336.

Până în prezent nu se știe dacă există sau nu o infinitate de numere perfecte.

un număr interesant: 2520

2520 este cel mai mic număr (natural, desigur) care se divide cu toate numerele de la 1 la 10 (superior highly composite number) la care se adaugă și 12.

Adică: 2520 = 1 x 2520 = 2 x 1260 = 3 x 840 = 4 x 630 = 5 x 504 = 6 x 420 = 7 x 360 = 8 x 315 = 9 x 280 = 10 x 252 = 12 x 210

șir de numere

Găsiți regula de alcătuire a următorului șir de numere naturale: 5, 2, 9, 8, 4, 7, 6, 3, 1, 10

curiozități prime

19 e număr prim; toți știu asta.

Dar tot prime sunt și 197, 1979, 19793, 197933, 1979339, 19793393 și 197933933.

La fel și 31, 331, 3331, 33331, 3333331 sau 33333331.

triplete pitagoreice

Tripletul de numere naturale nenule x, y, z, se numește pitagoreic dacă x² + y² = z² (laturile unui triunghi dreptunghic). Deși există o infinitate de asemenea triplete, singurele numere naturale consecutive care satisfac relația de mai sus sunt 3, 4 și 5.

Demonstrația este simplă: numerele consecutive sunt de forma x, x+1, x+2 etc.

Dar, din moment ce cele 3 numere sunt consecutive și trebuie să fie și pitagoreice, avem x² + (x+1)² = (x+2)² . Adică 2x² + 2x + 1 = x² + 4x + 4 –> x – 2x – 3 = 0 –> (x+1)(x-3) = 0

Singura soluție pozitivă pentru ecuația de mai sus este x = 3 q.e.d

coincidență matematică

Și într-adevăr, 23.140692632779269005729086367948547380266… (e^pi) e destul de apropiat de 22.459157718361045473427152204543735027589… (pi^e).

e este baza logaritmului natural: 2.718281828459...

numere mari

Câteva exemple numere mari și foarte mari:
Numărul estimat de atomi din universul observabil: 10⁸⁰
Numărul de atomi din galaxia noastră: 10⁶⁶
Numărul estimat de pești din oceane: 10¹²
Numărul atomilor din Soare: 10⁵⁷
Numărul aproximativ de celule din corpul uman: 10¹⁴
Numărul de neuroni din creierul uman: 10¹⁰
Numărul conexiunilor neuronale din creierul uman: 10¹⁴
Constanta lui Avogadro (numărul de atomi sau molecule dintr-un mol de substanță): 6.022 x 10²³
Diametrul estimat al universului: 8.8 x 10²⁶ metri
Totalitatea informației din materialul tipărit în întreaga lume: 1.6 x 10¹⁸ biți.
Un googol: 10100 (număr prea mare pentru a servi unui scop practic).

aproximare de vineri

1 an = pi x 10⁷ secunde.
Și într-adevăr, un an = 365 x 24 x 3600 = 31 536 000 secunde ≈ 3.141592 x 10⁷.

numărul de vineri: 998 001

Nu pentru că ar fi un număr deosebit în sine (nici măcar nu e prim), ci pentru că 1 împărțit la 998 001 furnizează un rezultat tare interesant, și anume:

1/998 001 =

A se urmări cu atenție succesiunea zecimalelor de după virgulă: 020 021…030 031….040 041…050…060…070…080…090…099 100…415 416…599 600…șamd.

Veți fi surprinși.

tabla de șah și boabele de grâu

O veche legendă indiană ne povește cum inventatorului jocului de șah, Sissa ben Dahir, i-a fost oferită – de către regele indian Shirham – o recompensă (la alegere) ca drept răsplată pentru minunata invenție.

Modest, Sissa a zis:

Maiestate, nu vreau cine știe ce bogații lumești, dați-mi doar un bob de grâu pentru prima pătrățică a tablei de șah, două boabe pentru a doua, 4 boabe pentru a treia, 8 pentru a patra pătrățică…și tot așa, până ce toate cele 64 de pătrate ale tablei vor fi acoperite de grâu.

Regele, mirat și încântat că i se cere atât de puțin, a bătut din palme și a poruncit să i se aducă un sac de grâu, pentru a îndeplini cererea vicleanului matematician. Dar, spre mirarea regelui, sacul s-a terminat repede, iar tabla nu era nici pe sfert acoperită. La fel s-a întâmplat și cu și sacii care au tot fost aduși pe urmă, au fost goliți tot mai repede.

Și într-adevăr, abia atunci și-a dat seama regele că Sissa ben Dahir i-a cerut un număr neînchipuit de mare de boabe de grâu, rezultatul progresiei geometrice

1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ +…2⁶³ = 2⁶⁴ - 1 =  18 446 744 073 709 551 615 boabe de grâu, cu mult mai mult decât producția agricolă a întregii Indii, de fapt de 1000 de ori mai mare decât întreaga producție de grâu a lumii.

Nu se știe cum a ieșit din impas regele din poveste, dar o variantă foarte plauzibilă este aceea că a poruncit tăierea capului insolentului inventantor.

două numere de vineri: 25 și 41

Destul de interesante amândouă, fiecare în felul său.

Astfel, 25 este un pătrat, cât și suma a două pătrate: 5² = 3² + 4²

De asemenea, 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 (suma unei secvențe de numere impare e un pătrat).

A se vedea și 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 sau 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 etc.

Fiind un pătrat impar, 25 este suma a două numere întregi succesive (12 și 13). Rădăcina sa, adică 5, e și alcătuită din 2 numere întregi consecutive (2 și 3). Verificați proprietatea și pentru alt pătrat impar, de pildă 121 = 11² = 60 + 61, iar 11 = 5 + 6.

25 = 4! + 1, 5 fiind singura soluție pentru ecuația (n-1)! + 1 = n^k

Pierre de Fermat a intuit, corect, că 25 = 3³- 1 este singurul pătrat doar cu 2 unități mai mic decât un cub (25 = 27 – 2).

Cât despre 41, el e un număr prim, dar nu datorită acestui lucru este interesant.

În 1772, Leonard Euler a găsit remarcabila formulă x² + x + 41, care generează doar numere prime pentru x mergând de la 0 la 39.

În consecință, pentru x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… avem numerele prime: 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151…

o ecuație frumoasă de duminică

Singurele numere a și b care satisfac ecuația a^b = b^a sunt 2 și 4 (2⁴ = 4²).

numere perfecte

Un număr perfect este acel număr întreg egal cu suma divizorilor săi, exceptând numărul însuși, desigur. Primele 4 patru perfecte, cunoscute încă din antichitate de către matematicienii greci, sunt: 6, 28, 496 și 8128.

6 = 1 + 2 + 3 = 2¹(2²-1) (singurul număr pentru care suma divizorilor este egală cu produsul lor)

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 2²(2³-1)

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 2⁴(2⁵-1)

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 2⁶(2⁷-1)

Următorul număr perfect este 33 550 336, întâlnit pentru prima dată într-un manuscris medieval din secolul XV, alte două numere (8 589 869 056 și 137 438 691 328) fiind descoperite în 1588 de către matematicianul italian Pietro Cataldi.

33 550 336 = 2¹²(2¹³-1)

8 589 869 056 = 2¹⁶(2¹⁷-1)

137 438 691 328 = 2¹⁸(2¹⁹-1)

Toate numerele perfecte pare sunt de forma 2^p−1(2^p−1), unde p e număr prim, formulă cunoscută încă din vremea lui Euclid, dar demonstrată abia în secolul XVIII de către Leonard Euler.

Până în prezent se cunosc 47 de numere perfecte.

Nu se știe dacă există sau nu numere perfecte impare.

numărul de vineri: 7

Este probabil numărul favorit al majorității oamenilor; rugați pe cineva să vă spună la întâmplare un număr – sau să-și aleagă o cifră preferată – și sunt șanse mari ca acela/aceea să fie 7. Sunt 7 zile în săptămână, 7 unități fundamentale în Sistemul Internațional, 7 culori primare, 7 arte, 7 mări, 7 înțelepți ai Greciei antice, 7 regi ai Romei, 7 minuni ale lumii, 7 coline pe care au fost clădite Roma și Constantinopolul etc.

7 este al patrulea număr prim și primul din progresia arimetică (cu rația 30) de numere prime: 7, 37, 67, 97, 127, 157.

Primul număr Mersenne (7 = 2³-1) și al doilea număr prim Mersenne; al doilea număr prim sigur (safe prime), adică un număr de forma 2p+1, unde p este de asemenea prim.

7 este cel mai mic număr care nu poate fi scris ca suma pătratelor a 3 numere întregi (precum 8 = 2² + 2² + 0² sau 17 = 4² + 1² + 0²).

Una dintre soluțiile problemei lui Brocard.

În 1840, Gabriel Lamé a demonstrat că ecuația lui Fermat x⁷ + y⁷ = z⁷ nu are soluții în mulțimea numerelor întregi.

Pentru a testa dacă un număr este divizibil cu 7: înmulțiți cu 2 ultima cifră a numărului și apoi scădeți numărul astfel obținut din restul cifrelor până la el; dacă rezultatul este divizibil cu 7 înseamnă că numărul original se împarte exact la 7.

exemplul 1: 826 este divizibil cu 7 deoarece 82 – (6x2) = 70 = 7 x 10

exemplul 2: 3045 este divizbil cu 7 deoarece 304 – (5x2) = 294 = 7 x 42

Șapte se numește sapta în sanscrită (de remarcat asemănarea).

7 este numărul obiectelor cerești din sistemul nostru solar vizibile cu ochiul liber: Soarele, Luna, Mercur, Venus, Marte, Jupiter și Saturn.

Există 7 ceruri în religia islamică, precum și 7 iaduri; de asemenea, în creștinism avem 7 zile ale creației, 7 fraze rostite de Iisus pe cruce, 7 păcate capitale și 7 virtuți, 7 sacramente în catolicism șamd.

7 este numărul atomic al azotului.

Și nu în cele din urmă, suma punctelor de pe fețele opuse ale unui zar este 7.

conjectura lui Goldbach

Conjectura lui Goldach, numită așa după matematicianul german Christian Goldbach, cel care a enunțat-o pentru prima dată, este una dintre cele mai vechi probleme încă neelcuidate din matematică și ne spune că oricare număr par mai mare decât 2 poate fi scris ca sumă de două numere prime:

De exemplu:

6 = 3+3

8 = 3 + 5

14 = 3 + 11 = 7 + 7

28 = 17 + 11

44 = 37 + 7 = 41 + 3

66 = 13 + 53

88 = 17 + 71

1000 = 997 + 3

și tot așa…

Practic, proprietatea se verifică pentru toate numerele pare analizate până acum, chiar de neînchipuit de mari (4 x 10¹⁸). Se numește conjectură (prezumție, ipoteză) – și nu teoremă – deoarece încă nu a fost demonstrată riguros matematic până acum, pentru oricare număr n par, dar nici nu a fost infirmată de vreun exemplu particular. Un al doilea Andrew Wiles care o va rezolva își va asigura medalia Fields (Nobelul în matematică).

problema lui Brocard

A fost formulată de către matematicianul francez Henri Brocard și sună în felul următor: să se găsească numerele naturale n și m care satisfac ecuația

n! + 1 = m²

Până în prezent se cunosc doar 3 perechi (n,m) de astfel de numere: (4,5), (5,11) și (7,71).

Și într-adevăr:
4! + 1 = 25 = 5²
5! + 1 = 121 = 11²
7! +1 = 5041 = 71².

Lo Shu, pătratul magic

Lo Shu, un pătrat magic foarte vechi, cunoscut încă din vremea Chinei antice.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Pe verticală, pe orizontală sau în diagonală suma cifrelor este 15.

pentru început: 26

26 este singurul număr întreg aflat între un pătrat (25) și un cub (27).